BIENVENIDO A LA DIMENSIÓN CUATRO

Por Ilich Galaviz



"Donde hay materia hay geometría".
Kepler


Desde que nos encontramos en la educación primaria aprendemos geometría básica, a la que llamamos “Geometría de Euclides” en honor a su descubridor, en esta geometría estudiamos las líneas, los ángulos y las figuras planas como los triángulos, círculos, rectángulos, etc. En la geometría euclidiana podríamos decir que se estudia la dimensión uno y dos, pero tratemos de dar una percepción más clara de lo que son las dimensiones.

Vamos a definir como dimensión a la cantidad de libertad de movimiento que tiene una figura para desplazase en el espacio; mientras más libertades existan, en mas dimensiones se mueve la figura.

Tal vez para el lector sea complicado entender por el momento lo que es una dimensión, pero tratemos de explicar cada una de las tres dimensiones del espacio matemático. Así que para poder explicar cada una de estas le pediré que eche a andar lo más profundo de su imaginación.

Imaginemos que somos un punto, y que solo podemos movernos de dos maneras posibles, izquierda y derecha, entonces nuestro movimiento en estas direcciones trazaría una “línea” como esta: 

A -----------------------------B----------------------------C



En donde si nosotros fuéramos el punto “B” solo tendríamos la libertad de desplazarnos hacia “A” o “C”, es decir solo tenemos una forma de movernos, que es en una línea, a la que llamaremos la dimensión uno. Ahora supongamos que ya tenemos la oportunidad de salir de la línea y movernos hacia arriba y hacia abajo, entonces formaríamos algo a lo que se le conoce como “plano” y por ende tendríamos una forma extra de movernos para poder empezar a formar figuras a las que llamaremos: “Figuras Planas”.


Entonces, el plano tomaria el nombre de dimension dos.
Para poder explicar la dimensión tres solo tendremos que anexar un movimiento extra a las dos anteriores, es decir tendríamos la libertad de movernos hacia la derecha, izquierda, arriba abajo y para movernos en el espacio tridimensional tendríamos que movernos también hacia adelante y hacia atrás, entonces formaríamos un cubo.



A cada punto del cubo lo llamaremos vértice y a cada línea que sale de un vértice lo llamaremos arista, así pues, el cubo tiene ocho vértices y tres aristas por cada uno de ellos.
¿Los cubos son las únicas figuras en tres dimensiones?

La respuesta es no. Toda figura que cumple con las tres libertades anteriores puede considerarse como figuras tridimensionales, entre las cuales se encuentran las pirámides, cilindros, conos, prismas y en especial los poliedros regulares en donde sus caras son figuras planas unidas por vértices. Los poliedros pueden clasificarse  de acuerdo a la cantidad de caras que tengan, por ejemplo:


Entonces podemos percibir las dimensiones como la cantidad de libertades o bien lo podemos hacer por analogía, en donde:

Ø  La dimensión uno es una línea con 2 vértices.
Ø  La dimensión dos es un cuadrado con 4 vértices y 4 aristas.
Ø  La dimensión tres es un cubo con 8 vértices y 12 aristas.
¿Podemos hacer el mismo ejerció, pero con triángulos?

Claro que podemos. Siguiendo la misma lógica, obtenemos:

Ø  Dimensión uno es una línea con dos vértices.
Ø  La dimensión dos, será un triángulo con 3 vértices y 3 aristas.
Ø  La dimensión tres, será un tetraedro regular (véase la liste de arriba) con 4 vértices con 6 aristas.

Si seguimos la misma lógica podemos trazar una figura con 5 vértices en donde de cada vértice salgan tres aristas,  y por lo tanto tendremos una figura de 4 caras tetraédricas a la que llamaremos “Simplejo”. El simplejo lo consideramos una figura en cuarta dimensión y análogo del tetraedro.


¿Cómo es posible ver las figuras  de la cuarta dimensión solo en tres dimensiones?
En realidad las figuras como el simplejo representan una proyección en el espacio  de la figura en cuatro dimensiones, a la que se le llama “Proyección estereográfica”.

 ¿Cómo funciona la proyección? La proyección estereografica es igual a cuando jugamos a hacer sombras con las manos, nuestras manos representan figuras en la tercera dimensión y cuando se interponen en una luz generan una figura de dos dimensiones a la que llamamos sombra, si esto lo trasladamos a las figuras, también podemos obtener sus sombras:



Así pues de una figura de 3D podemos obtener su sombra en 2D, lo mismo podemos hacer con la cuarta dimensión y obtenemos la sombra de la figura en 3D. Entonces ya que tenemos la noción de lo que es la tercera y la cuarta dimensión, podemos dar algunos análogos del cubo, dodecaedro e icosaedro en 4D utilizando la proyección estereográfica:

Hipercubo

El 120

El 600

Cada una de estas figuras en 4D están proyectadas en 3D, es decir cada una de estas figuras contiene caras tridimensionales, por ejemplo, el segundo contiene 120 caras que están formadas por dodecaedros  y el tercero contiene 600 caras formadas por  dodecaedros (véase la lista de poliedros). Para tener una percepción por analogía diremos que una figura de 3D contiene caras en 2D, por ejemplo; el cubo es una figura de 3D pero sus caras son cuadrados en 2D, así podemos decir que una figura en la cuarta dimensión contiene caras formadas por figuras en la tercera dimensión. 


¿Cuál es la rama de las matemáticas que estudia la geometría y propiedades de estas figuras?

Muchas son las ramas que se avocan al estudio de las dimensiones, las más importantes son la topología y el álgebra lineal.

Para el álgebra lineal las dimensiones son campos de estudios netamente abstractos que solo pueden ser teorizados y no geometrizados, para el estudio de algo que se le conoce como espacios vectoriales.

La topología trata de dar una percepción geométrica en base a algo que se le conoce como esferas de proyección (de ahí sale la proyección estereografica), es decir podemos proyectar figuras en 3D y 4D utilizando círculos y arcos (partes de circunferencias). Una esfera que proyecta figuras de 3D en 2D se le llama esfera S2 y una esfera que proyecta figuras de 4D en 3D se le llama S3:
Esfera S2 proyectando un círculo de 2D

Si hacemos las proyecciones del hipercubo, el 120 y el 600 en S3, nos quedaría de la siguiente forma:

Hipercubo

El 120     

El 600    

Pero no solo la topología estudia estas figuras regulares, sino que también se pueden hacer proyecciones de figuras irregulares, en donde se ingresa a un nuevo universo matemático. Podemos encontrarnos figuras que solo tienen una cara como la curva de Moebius, botellas que no tienen principio ni fin como la botella de Klein o figuras de gran complejidad aritmética como las fibraciones.

      Curva de Moebius                   

Botella de Klein                    

 Fibracion 

Sin duda el estudio de la cuarta dimensión es algo cautivante y de suma importancia ya que gracias a estas teorías, los físicos como Albert Einstein, Ed Witthen, Stephen Hawking y muchos más pudieron formular grandes teorías físicas, como la teoría de la relatividad, la teoría de cuerdas, la comprensión del universo a partir de la cosmología, los agujeros negros y más. 




La sombra de Prometeo

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