FERMAT EL MARGEN MÁS FAMOSO DE LA HISTORIA

Por Nestor Galaviz Jordan

``Es imposible encontrar un entero al cubo como suma de dos enteros al cubo, una curta potencia en la suma de dos cuartas potencias, mas aun es imposible hallar solución a xⁿ+yⁿ=zⁿ con n>2. Para este hecho he encontrado una demostración maravillosa. Pero el margen es demasiado pequeño para desarrollarla.¨

                                                                                                                                       PIERRE FERMAT

   Es posible que alguna vez hayamos visto en el periódico de la mañana algunos acertijos matemáticos, muchos de los cuales son tomados como retos para algunas personas, que son, verdaderos  matemáticos aficionados. Sin duda, podemos considerar a  Fermat como uno de ellos.

   Pierre Fermat un gran abogado Francés, jurista del parlamento de Toulouse, fue junto con René Descartes uno de los más grandes matemáticos del siglo XVII.

   Fermat para mantenerse lejos de los escándalos por los que pasaba en aquella época el  parlamento, decidió dedicar su tiempo libre a las matemáticas. Fermat tomó como inspiración el libro titulado ``La Aritmética de Diofanto´´ y en él hacia notaciones en los márgenes, muchas de estas notaciones fueron dadas a conocer cincuenta años después de su muerte, en un libro que publico su hijo en 1710.

   Tal era la afición de Fermat por los números que retó a los más grandes matemáticos de la época a que resolvieran varios problemas que él había resuelto previamente, por ejemplo Fermat desafió a Blas Pascal a resolver la siguiente ecuación para números naturales (los números naturales son aquellos  que van desde el 1,2,3,4,5,6,7,8,9………..):     a²3

 Es decir retó a Pascal a encontrar el único numero natural comprendido entre un cuadrado y un cubo respectivamente. La solución a la ecuación es el número 26, ya que 26 está  comprendido entre el 25=5² y 27=3³  es decir: 25<26 5="" a="" es="" igual="" que="" sup="">2 <26 sup="">3

   Fermat encontró una rara relación entre las números 17,296 y 18,411 ya que la suma de los divisores del primero dan como resultado el segundo número, y viceversa la suma de los divisores del segundo número dan como resultado el primero (se deja como ejercicio al lector), a estos números se les llaman números amigos.

   Al ser Fermat un estudioso de la aritmética se aventuró a estudiar los números primos  (los números primos son aquellos números que no tienen divisores enteros por ejemplo 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 etc.) encontrando un numero natural llamado ``Primo de Fermat´´ que se denota como:

         F_n=  2^{2^N}+1 donde N es natural, veamos:

        F₁= 2^{2^1}+1 = 2²+1 = 4+1 =5

        F₂= 2^{2^2}+1 = 2⁴+1 = 16+1 =17

        F₃= 2^{2^3}+1 = 2⁸+1 = 256+1 =257 

   Los números 5, 17, 257 son números primos. La fórmula fue aceptada por todos los matemáticos como una formula general, pero no fue sino hasta 1735 que Leonard Euler demostró que para N=5 no aplicaba la formula,  es decir:

        F₅= 2^{2^5}+1 = 2³²+1 = 4294967297 pero  4294967297= 641x6700417, es decir 641 es divisor de  4294967297 por lo tanto este número no es primo.

   Sin embargo no fue esto lo que hizo a Fermat pasar a la historia como un gran matemático, sino sus valiosos hallazgos en las matemáticas, Teoría de Números y La Probabilidad. En especial fue una notación en el libro de la aritmética de Diofanto lo que hizo convertirse a Fermat en un ícono de las  matemáticas. Fermat hizo una notación en aquel margen que decía:

 ``Es imposible encontrar un entero al cubo como suma de dos enteros al cubo, una curta potencia en la suma de dos cuartas potencias, mas aun es imposible hallar solución a   xⁿ+yⁿ=zⁿ con n>2

Para este hecho he encontrado una demostración maravillosa. Pero el margen es demasiado pequeño para desarrollarla.¨

Desafortunadamente Fermat falleció y nadie nunca vio su demostración.

   Desde la educación secundaria nos enseñan el teorema de Pitágoras que dice: ``la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa es decir a²+b²=c²´´ en efecto este teorema da solución a un triángulo rectángulo como este:

donde a²+b²=c²  en el caso particular de a=3 , b=4 y c=5 seria

3²+4²=5²  que es igual  9+16=25 por lo tanto 25=25 y se

puede decir que 3,4,5 son solución a la ecuación a²+b²=c²

y no solo eso, los antiguos griegos ya habían encontrado varias soluciones de números enteros.

¿Pero qué pasaría si en vez de potencias iguales a dos serian iguales a tres? es decir: a³+b³=c³, veamos que pasa:

En el caso particular de a=3, b=4 y c=5 se tiene  3³+4³=5³ que es igual a 27+64=125 pero 91=125 es decir 3, 4 y 5 no son solución a la ecuación a³+b³=c³ pues Fermat dijo que por más que buscaras nunca encontrarías la solución, es decir, números que cumplieran esta ecuación, y más aun si en vez de cubos serian potencias cuartas, quintas o cualesquier potencia mayor a dos.

   A esta ecuación xⁿ+yⁿ=zⁿ con n>2 se le conoció como ``El Último Teorema de Fermat´´, y varios de los grandes matemáticos como:

1.       Euler

2.       Taylor

3.       Galois

4.       Lagrange

5.       Laplace

   Gauss 

Se aventuraron a encontrar una demostración única que pudiera darle solución al último teorema de Fermat, y se puede decir que no lo lograron.

  Al entrar el siglo XX se fue dejando en el olvido a Fermat y los matemáticos optaron por  estudiar matemáticas más prácticas, en especial dos temas que eran lo más popular de aquella época `` LAS CURVAS ELIPTICAS Y LAS FORMAS MODULARES´´.

Ø  Las formas modulares si las pudiéramos describir geométricamente serian un espacio en el plano complejo donde existiría una perfecta simetría por todos lados.

Ø  Las curvas elípticas si las pudiéramos describir geométricamente serian un espacio con forma de rosquilla (dona), en donde, cada punto de esa rosquilla satisface una ecuación aritmética.

  En 1952 Goro Shimura y su compañero Taniyama, hicieron una propuesta al mundo de las matemáticas que dejo sin habla a los matemáticos de aquella época. La propuesta decía: ``Toda Curva elíptica es una Forma Modular disfrazada´´ a esto se le conoció como la conjetura Tanyama-Shimura.  

  Taniyama-Shimura proponía unir, por un lado, el mundo de perfectas simetrías como lo son las formas modulares y por el otro, al mundo de las curvas elípticas, es decir, las rosquillas. Esta conjetura desafortunadamente en esos años parecía imposible de demostrar.

   ¿Qué tiene que ver Fermat con Taniyama-Shimura?

   A mediados de los años ochenta hubo un gran adelanto, un matemático alemán propuso que si el último teorema de Fermat era falso (es decir que si la ecuación xⁿ+yⁿ=zⁿ con n>2  tuviera números enteros que la satisfagan como al teorema de Pitágoras análogamente hablando) entonces la ecuación xⁿ+yⁿ=zⁿ con n>2 debería de generar una rara curva elíptica, pero si el último teorema de Fermat era verdadero entonces la conjetura Tanyama-Shimura era verdadera.

   Bastaba con comprobar la conjetura Taniyama-Shimura para demostrar el último teorema de Fermat. En el año de 1990 el matemático Ingles Andrew Wiles aventuró a hacer el cálculo del siglo tratando de demostrar la conjetura Taniyama-Shimura.

   Habían pasado ya dos años desde que Andrew comenzó a demostrar la conjetura, y en julio de 1992 encontró la técnica correcta de atacar el problema, transformando las curvas elípticas en algo conocido como estructuras de Galois, es decir, encontró la forma de atacar el problema pero de diferente forma. Pasados ya siete años desde que inició este cálculo, Andrew Wiles ofreció una conferencia en Universidad  Cambridge  que llevaba como título ``CURVAS ELIPTICAS Y FORMAS MODULARES´´ en donde explicó y demostró la conjetura Taniyama-Shimura y por consecuencia demostró uno de los teoremas más difíciles de los últimos tiempos, el último teorema de Fermat.

   Así pues ha llegado a su fin la historia de un teorema que comenzó como una curiosidad matemática y que al final terminó siendo decisivo para generar nuevas teorías. Pero, una duda nos sigue atormentando a los matemáticos: ¿En realidad Fermat pudo demostrar este teorema de una manera más sencilla?