La llegada y recepción de Los
Elementos en el mundo árabe
Durante los califatos de la dinastía ‘abbāsí se
aceleró la adquisición de manuscritos destinados al estudio y la traducción, al
grado de establecer como una política de Estado hacerse del máximo número de libros en el plazo mínimo de tiempo[1],
ejemplo de ello es el envío de los textos de Euclides y algunos libros de
física que el emperador de Bizancio hizo al califa al-Mansūr (aprox. 775), tal
política permitió que los sucesores de este personaje enriquecieran las
bibliotecas a base de donaciones, saqueos, contribuciones de guerra y
negociaciones.
Al-Ma’mūn, por su parte, califa aficionado a la
ciencia griega[2],
escribió también al emperador bizantino a fin de solicitarle el envío de obras
antiguas, para lo cual formó una comisión que se encargaría de seleccionarlas y
llevarlas a Bagdad, tal comisión estuvo integrada por Salmān (director de la
Casa de la Sabiduría), Al-Bitrīq y Al-Hāyyāy (en otras versiones: Al-Hājjāj) de
quien hablaremos a continuación.
Al parecer, la primera versión de Los Elementos en latín se debe a
Adelardo de Bath, quien se basó a su vez en la traducción árabe de Al-Hāyyāy y
que a decir de Ricardo Moreno se realizó en la época de al-Rashīd, miembro de
La Casa de la Sabiduría, aunque tal traducción no se basó en el texto original,
pues la primera versión de Euclides que llega a los árabes es por vía del
Bizancio y éstos ya lo habían traducido.
Otras traducciones fueron realizadas por Hishāq b.
Hunayn, corregida por Tābit Qurra y una más fue realizada por al-Damasqī, quien
tradujo algunos libros que al-Nayrizi comentó, aunque Anthony Lo Bello nos dice
que en el prólogo del Comentario de
al-Nayrizi, él asegura que conoce la segunda traducción de al-Hāyyāy, aunque no
se sabe si esta traducción fue el texto en que basó sus comentarios[3];
en cualquier caso, la traducción que realiza al-Hāyyāy es decisiva en la
recepción y asimilación de la obra euclidiana, ya que es muy probable que
al-Khwārizmī (de quien nos ocuparemos más tarde) haya tenido acceso a la misma,
así como a los comentarios de al-Nayrizi que se enriquecen con los de Herón,
Simplicio y un comentador desconocido que, de acuerdo con nuestra
interpretación, serán decisivos para la lectura que al-Khwārizmī realiza del
libro II de Los Elementos.
Los Elementos que los árabes reciben, no es el texto original de
Euclides, sino como ya se indicó, se trata de una traducción bizantina que
quizá se basa en una versión de Herón de Alejandría, de lo cual da fe el
siguiente estema[4]:
Este estema sugiere que Los Elementos fueron conservados a través de tres copias basadas en
una edición de Teón de Alejandría (aprox. 370 d.C.), quien “se vio en la
necesidad de redactar de nuevo los ejemplares que tenía a la mano, los cuales
estaban ya bastante deteriorados”[5],
a saber: la de Herón, texto base de los árabes; la de algunos copistas y
comentadores griegos cuyos nombres se desconocen y que al parecer es el texto
traducido por al-Nayrizi[6]
y finalmente una copia hecha por Boecio, que también traduce Adelardo de Bath,
y es traducida, a su vez, por Clavius y Tartaglia.
Asimismo, hay que señalar con especial ahínco que
el texto euclidiano no sólo fue traducido, sino también, como someramente se ha
mencionado, fue comentado y discutido, ejemplo de ello es el Comentario a los postulados del libro de los
Elementos y Solución a las dudas de los Elementos de Tābit b. Qurra, los
comentarios de al-Nayrizi (de los cuales nos ocuparemos más adelante), los
intentos de Al-Khayyam y Alhazen por demostrar el quinto postulado, y el libro:
De proportione et proportionalitate
de Yūsuf al-Dāya que fue traducido por Gerardo de Cremona.
La variedad de discusiones que Euclides despertó
entre los árabes hace imposible soslayar la influencia que Los Elementos ejercieron sobre sus formulaciones matemáticas, de
las cuales nos interesa revisar el espíritu euclidiano que subyace al álgebra
planteada por al-Khwārizmī, tema del que nos ocuparemos a continuación.
Interpretación
de las condiciones que posibilitan una lectura algebraica del Libro II de Los Elementos
Roshdi Rashed nos dice que hasta ahora los historiadores han sostenido un intenso debate
sobre dos asuntos complementarios y fundamentales, a saber, la relación entre
los orígenes del álgebra y los
recursos utilizados por al-Khwārizmī, sobre los cuales se ha asegurado que el
matemático árabe se basa en la matemática helénica, india y babilónica[7],
teniendo esto presente, el apartado que nos ocupa discutirá tal problema
basándonos en una interpretación del Libro II de Los Elementos[8],
para después relacionarlo con las ecuaciones
de al-Khwārizmī.
Las
nociones comunes de Los Elementos
Pretender relacionar el Libro II de Los Elementos con el álgebra árabe,
supone establecer, en primer lugar, en qué sentido las ecuaciones de al-Khwārizmī pueden ligarse con la obra euclidiana,
pues si entendemos por ecuación la
igualdad entre dos expresiones matemáticas que contienen una o más incógnitas[9],
se hace necesario revisar bajo qué condiciones dos expresiones son iguales, por
ello debemos ofrecer una breve revisión del papel que juegan las nociones comunes
al interior de la obra euclidiana, ya que éstas nos muestran cuándo dos cosas pueden relacionarse mediante la
igualdad.
Los Elementos
fueron escritos probablemente hacia el año 325; su contenido se halla dividido
en trece libros que incluyen dos tipos de proposiciones:
enunciados que podemos interpretar como teoremas
y enunciados que solicitan construcciones y que bien podríamos nombrar problemas, así, un ejemplo de teorema es: “Si dos ángulos de un
triángulo son iguales, los lados subtendidos bajo tales ángulos serán también
iguales”, y un ejemplo de problema:
“Dividir en dos un ángulo rectilíneo dado”.
Estas proposiciones
están antecedidas por una serie de definiciones que, de acuerdo con nuestra
interpretación, presentan los objetos con que se trabajará a lo largo de los
libros, pues la palabra que se traduce por definición: ‘´Οροι (Oroi), significa
“los límites” o “las fronteras”, en este sentido, se puede afirmar que las
definiciones señalan los alcances de la materia abordada en cada libro, de modo
que cuando Euclides define punto, línea, ángulo, figura, circunferencia, etc.,
señala los objetos propios de su geometría.
Ahora bien, en el primer libro de Los Elementos, además de presentar las
veintitrés definiciones con que se trabajará, se enuncian una serie de
postulados y nociones comunes. Entendemos por postulados una serie de
peticiones, pues la palabra que se traduce por petición es αἰτήματα (aiteemata)
proviene del verbo αἰτέω (aiteoo) y significa “pedir”, αἰτήματα entonces
significará “petición”, así, cuando Euclides dice en su primer postulado:
“Trazar una línea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera”,
pide que, dados dos puntos, podamos trazar una línea que los una, sin necesidad
de demostrar que de hecho puede
hacerse.
Finalmente las nociones comunes o κοιναί ἔννοιαι
(koinai ennoiai), que significa consideraciones en común, presentan una serie
de afirmaciones que debemos tener presentes en todos los libros, pues
establecen las condiciones bajo las cuales dos cosas son iguales; a este respecto Beppo Levi nos dice que:
[…]
se interpreta lo más comúnmente por los autores la palabra comunes en el sentido de “comunes a todas
las ciencias”. Vamos a mostrar pronto que tal interpretación no puede
corresponder a la del autor de los Elementos.
Preferentemente podríamos considerarlas como los postulados generales de la
noción geométrica de igualdad.[10]
En efecto, parece que el elemento que permea la
enunciación de las consideraciones en
común es la noción de igualdad, ya que a través de ellas Euclides indica
bajo qué condiciones dos cosas serán iguales, mismas que parecen dividirse en
tres grupos, a saber:
La primera noción común: “Las cosas iguales a una
misma son iguales entre sí”, representa, de acuerdo con nuestra interpretación,
la propiedad transitiva de la igualdad, pues nos dice que si una cosa es igual
a otra y ésta, a su vez, es igual a una tercera, entonces la primera será igual
a la última, por lo tanto, abusando de lo que el autor de Los Elementos menciona y si podemos escribir esta noción común en
términos actuales, entonces Euclides parece plantear que:
Por otro lado, desde nuestra lectura, la segunda y
la tercera noción común representan una cierta preservación de la igualdad bajo
las operaciones de suma y resta, pues dicen que si añadimos o quitamos cosas
iguales a lo que era igual, entonces el total o la diferencia serán iguales
respectivamente; así la segunda noción: “Y si a iguales se añaden iguales, los
todos son iguales”,
podría escribirse:
Por
su parte, la tercera noción común: “Y si de cosas iguales se
quitan cosas iguales, las diferencias son iguales” puede expresarse:
De la misma manera, parece que la cuarta noción, a
saber, “Y las cosas congruentes[11]
entre sí son iguales”, establece preservación de la igualdad, pues si asumimos
que dos cosas son congruentes entre sí, sólo si tienen la misma forma y tamaño,
entonces la igualdad no dependerá ni de la posición u orientación del objeto en
cuestión, de lo cual podríamos concluir que quizás Euclides establece
preservación de la igualdad no sólo bajo las operaciones mencionadas, sino como
diríamos actualmente, bajo traslación y rotación.
Finalmente, la quinta noción común: “Y el todo es
mayor que la parte”, establece, en primer lugar, que es posible descomponer una
cosa en partes, y en segundo lugar, que tales partes serán desiguales con
respecto a la cosa entera, es decir, se señala que la parte no puede ser igual
al todo. En términos actuales, podríamos reescribirla:
Con base en el desarrollo anterior, podemos afirmar
que las nociones comunes establecen cuándo considerar dos cosas como iguales, sin embargo, en ellas no hay nada que nos diga
el estatus de las cosas que podemos
igualar, es decir, a pesar de que señalan cuándo las podemos relacionar
mediante la igualdad, no sabemos aún si un punto puede ser igual a una línea, o
una línea a una figura, etc. A
continuación exploraremos este asunto.
El primer libro de Los Elementos nos enseña que las cosas sujetas a la relación de igualdad son del mismo tipo, así en
I.5 encontramos: “En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí,
y, si se prolongan las dos rectas iguales, los ángulos de debajo de la base
serán también iguales entre sí”,
es decir, un ángulo es igual a otro ángulo; en I.6 leemos: “Si dos ángulos de un
triángulo son iguales, los lados subtendidos bajo tales ángulos serán también
iguales”, o sea, una recta es igual a otra recta; finalmente en
I.35: “Paralelogramos
que están sobre la misma base y entre las mismas paralelas son iguales entre
sí”, se nos dice que una figura es igual a otra
figura.
Por otra parte, podemos encontrar una cierta
homogeneidad en los resultados que arrojan las operaciones que se realizan con
los ángulos, rectas y figuras, de esta manera en I.13 encontramos: “Si una recta
levantada sobre otra hace ángulos, serán o bien dos rectos o igual a dos
rectos”, aquí se menciona que la suma de ángulos será un ángulo; por su parte
I.47 dice: “En
los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subyace el ángulo recto es
igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto”, en el que
podemos interpretar que la suma de figuras es igual a otra figura; por último,
en I.3 se lee: “Dadas dos rectas desiguales quitar de la mayor una recta igual
a la menor”, en el cual se indica que si quitamos una recta a otra, el
resultado será otra recta.
Quizá parezca trivial hacer las aclaraciones
anteriores, sin embargo es preciso señalar no sólo qué criterios condicionan la
relación de igualdad, sino también debemos tener claro que los objetos con los
que Euclides trabaja y las operaciones que podamos hacer con ellos, serán
iguales a objetos del mismo tipo[12],
en términos actuales, podríamos decir que las operaciones euclidianas son
cerradas. De igual manera, será imposible, bajo estas condiciones, sumar rectas
con figuras o rectas con ángulos, es decir, las operaciones de “poner” o
“quitar”, es decir sumar y restar, pueden efectuarse sólo con objetos del mismo
tipo.
A continuación exploraremos otro tipo de objetos
que hasta ahora no hemos contemplado y que son de vital importancia para
alcanzar el objetivo que nos hemos propuesto, a saber, revisaremos la relación
entre algunos objetos geométricos, las figuras, y su expresión en proporciones.
Los
libros II y VI de Los Elementos
El libro II de Los
Elementos, suele considerarse como un tratado de álgebra geométrica,
afirmación un tanto aventurada y que puede deberse a que desde nuestro
contexto, no es difícil interpretar en él algunas de las proposiciones
algebraicas que aprendimos en la educación elemental, de manera que es posible
que identifiquemos factorizaciones e incluso expresiones que hoy en día
llamamos productos notables, con sus las demostraciones geométricas que este
libro presenta.
No obstante, tal interpretación es errónea pues, en
sentido estricto, “álgebra geométrica” es un término aplicado a la construcción
de una teoría matemática, cuyos elementos se denominan multivectores y se
caracterizan por el producto geométrico, esta teoría fue desarrollada a finales
del siglo XIX por Grassmman (que obtuvo el producto interno y externo genérico)
y Clifford (quien unificó los productos de Grassmman), asimismo reciben este
nombre, las teorías relacionadas con las “álgebras de Clifford”. Por lo tanto,
de acuerdo con esta caracterización, el libro II de Los elementos no es un tratado de álgebra geométrica.
Ahora bien, el libro II de Los Elementos es un tratado geométrico conformado por dos
definiciones y catorce proposiciones, en las primeras encontramos la definición
de paralelogramo rectángulo y gnomon; las segundas incluyen dos problemas, un
corolario y doce proposiciones, de las que dos se enuncian como desigualdades
(aunque se pide probar igualdades) y las diez restantes presentan igualdades
entre rectángulos.
Así, el cuarto teorema del libro que tratamos dice:
“Si se corta una línea recta, el cuadrado de la línea es igual a los cuadrados
de las partes más el duplo del rectángulo comprendido por las partes”, es
decir, si tenemos una recta AB dividida arbitrariamente en el punto G, el
cuadrado de AB es igual a la suma del cuadrado de AG y el cuadrado de GB, más
dos veces el rectángulo comprendido por las rectas AG y GB. Este teorema, como
podemos observar, establece la igualdad entre un cuadrado y la suma de dos
cuadrados y un rectángulo formados a partir de la división arbitraria de una
recta, dicho de otra forma, se pide probar que:
Igualdad que reescrita en nuestros términos y
abusando de la interpretación que de ella podamos hacer, se puede expresar:
Por otra parte, el primer problema que aparece en
este libro es el siguiente: “Dividir una recta de modo que el rectángulo
comprendido por la recta entera y por una de sus partes sea igual al cuadrado
de la parte restante”, en el cual, se pide que dada una recta AB, hay que
cortarla de modo que si AG y GB, son las partes que resultan del corte,
entonces debemos construir:
Este problema es particularmente interesante porque
podemos leer en él una enunciación de la proporción
áurea, pues si se nos pide construir 
que también puede expresarse: 
y ésta a su vez se escribe: 
entonces se puede establecer la siguiente
proporción: 
, que
es precisamente la proporción aúrea, sobre la cual García Olvera dice:
que también puede expresarse: y ésta a su vez se escribe: entonces se puede establecer la siguiente
proporción: , que
es precisamente la proporción aúrea, sobre la cual García Olvera dice:
[…]
La sección se califica con el
adjetivo de áurea, cuando se divide un todo en dos partes
desiguales, de tal manera que el todo sea a la parte mayor, como la parte mayor
es a la parte menor. Entonces
aparece la proporción también llamada áurea, en la cual la razón entre el todo
y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y la parte menor.[13]
De acuerdo con esta caracterización se observa que
Euclides nos propone dividir un todo, la recta AB, en dos partes desiguales, de
modo que si expresamos AB como AG+GB
y AG es la parte mayor y GB la parte menor entonces, en ,
podemos leer: el todo es a la parte mayor como la parte mayor es la parte
menor, que es precisamente la proporción áurea.
,
podemos leer: el todo es a la parte mayor como la parte mayor es la parte
menor, que es precisamente la proporción áurea.
Ahora bien, independientemente de que este problema
pueda ser interpretado como una construcción de la proporción áurea, quiero
llamar la atención sobre un asunto pertinente para el desarrollo de este
trabajo, a saber, la posible relación entre los libros II y VI de Los Elementos, ya que a través de este
problema se puede observar que, de hecho, los dos problemas que se encuentran
en el libro que hasta ahora se ha presentado, pueden ser expresados en lenguaje
de proporciones.
El segundo problema del libro II, que es la última
proposición del mismo dice: “Construir un cuadrado igual a un dominio
rectilíneo dado”, en ella se señala que si tenemos un dominio rectilíneo A, hay
que construir un cuadrado ET, que sea igual a él, es decir, debemos encontrar:
de modo que si consideramos A = ab, hay que
construir un cuadrado tal que:
y si reescribimos como 
,
tendremos:
como ,
tendremos:
expresión equivalente al problema trece del libro
VI[14]:
“Dadas dos líneas rectas encontrar una media proporcional”, es decir, si
tenemos dos rectas AB y BC, entonces hay que encontrar BD tal que: 
, para lo cual se colocan las rectas AB y BC
en el semicírculo AC, y se traza la perpendicular BD a la recta AC = AB+BC, y como BD forma un ángulo
recto con la base del triángulo ADC, entonces DB es la media proporcional entre
los segmentos de la base, que son precisamente AB y BC, por lo tanto: 
.
, para lo cual se colocan las rectas AB y BC
en el semicírculo AC, y se traza la perpendicular BD a la recta AC = AB+BC, y como BD forma un ángulo
recto con la base del triángulo ADC, entonces DB es la media proporcional entre
los segmentos de la base, que son precisamente AB y BC, por lo tanto: .
De acuerdo con lo anterior, se puede afirmar que
ciertas magnitudes geométricas pueden ser formuladas
en términos de proporcionalidad, es decir, las magnitudes geométricas
representadas por dominios rectilíneos, pueden reescribirse mediante magnitudes que tienen razones análogas[15]
en donde, por razón se entiende, de acuerdo con la tercera definición del libro
V de Los Elementos, “cualquier
relación entre dos magnitudes del mismo género según su cantidad”[16].
Detengamos en esta definición.
Se ha dicho que razón es cualquier relación entre
dos magnitudes del mismo género según su cantidad, es decir, la razón es la
relación establecida entre dos cosas
del mismo tipo de acuerdo con su la cantidad. La palabra “cantidad” no es
definida por Euclides, sin embargo podemos decir que proviene del griego πηλικότητά
(peelicóteetá) ésta, a su vez, viene de πηλίκος (peelícos) que significa “cuán
grande” o “de qué tamaño”, entonces “cantidad”, etimológicamente, se refiere a
una cosa que puede medirse, pues su
raíz designa cuán grande o de qué tamaño es algo; por otro lado, la definición
en donde aparece la palabra cantidad es la número tres, y aunque, como se ha
dicho, Euclides no nos dice nada de ésta, con base en las definiciones
subsecuentes se podría afirmar que la cantidad es una magnitud susceptible de
aumento y decremento[17].
De este modo, la cantidad, tal cual la definimos
anteriormente, queda inserta en Los
Elementos como un objeto geométrico que nos permite establecer una relación
entre figuras y proporciones, aspecto que nos permite suponer la existencia de
una cierta homogeneidad entre ellas, de manera que ad = cb y 
son equivalentes, con ad y cb rectángulos, y a, b, c, d cantidades.
son equivalentes, con ad y cb rectángulos, y a, b, c, d cantidades.
Por lo tanto, Euclides nos da licencia para
establecer una equivalencia entre figuras y razones (y por ello nos permite
considerar la figura de acuerdo con su cantidad consideradas ambas como
magnitudes geométricas), a este respecto Beppo Leví afirma:
[…]
el Libro V nos presenta un súbito cambio de la ruta, desvinculándose casi por
completo de las ideas directoras de los Libros anteriores; los elementos con lo
que se trata ya no son más segmentos, ángulos y polígonos, sino magnitudes en
general; y el hecho de que la figuración que acompaña las demostraciones se
hace todavía exclusivamente por segmentos, mientras que los comentaristas se
esfuerzan frecuentemente en acentuar el nuevo punto de vista con el dibujo de
objetos diferentes, sólo demostrará más claramente el pensamiento más puramente
abstracto del autor antiguo, desvinculado de la representación material; pues
esos segmentos no tienen diferente significación que las letras en nuestras
demostraciones algebraicas.[18]
A partir de lo anterior, se puede sugerir que el
hecho de que Euclides permita expresar ciertas proposiciones de contenido
puramente poligonal en un lenguaje de proporciones, nos da licencia para
expresarlas en un lenguaje algebraico, mismo que verá su génesis en la teoría de las ecuaciones construida por al-Khwārizmī y que abordaremos en breve,
no sin detenernos a examinar de soslayo, el comentario del libro II hecho por
al-Nayrizi, asunto que trabajaremos a continuación.
El
comentario de al-Nayrizi al libro II de Los
Elementos
Se ha dicho ya que Los Elementos fueron conservados a través de las copias realizadas
por Herón de Alejandría, por algunos comentaristas griegos y por Boecio, todas
ellas basadas, a su vez, en una edición de Teón de Alejandría. La copia y
comentario que analizaremos a continuación es la que elabora al-Nayrizi.
El comentario de al-Nayrizi sobre el libro II de Los Elementos, será nuestra primera
aproximación a la lectura de Euclides que hicieron los árabes, pues en él
encontramos una traducción de la obra euclidiana y también la transcripción de
los comentarios de Herón al respecto, igualmente se incluyen “ejemplos con
números” de distintas proposiciones.
Por su parte, las proposiciones no son anunciadas
como tales, sino como figuras, así la primera proposición o primer teorema,
dice: “Primera figura del segundo tratado”[19],
con respecto a lo cual podemos decir que, pese a que actualmente llamamos
teoremas a cada una de las proposiciones encontradas en la obra euclidiana que
aquí trabajamos, en realidad Euclides sólo numera cada uno de estos enunciados,
y aunque no abordaremos este asunto, sería pertinente preguntarnos por qué
al-Nayrizi decide nombrar “figuras” a cada una de los teoremas y qué
importancia tiene tal denominación en la comprensión de la obra euclidiana.
Ahora bien, los elementos que integran la
presentación de las figuras son heterogéneos, sin embargo podemos rastrear una
línea común en ellos, pues en general incluyen: el teorema y su respectiva
demostración, dos tipos de ejemplos y el comentario de Herón.
En primer lugar, cada figura contiene una
transcripción modificada de los teoremas de Euclides, lo cual se debe
posiblemente a que la edición de Los
Elementos conocida por al-Nayrizi ya había sufrido alteraciones[20],
por ejemplo la figura catorce del segundo tratado dice: “Queremos demostrar
cómo puede ser construida una superficie cuadrada igual a un triángulo
conocido”[21],
en donde se propone construir un cuadrado igual a un triángulo dado, lo cual no
es exactamente lo propuesto por Euclides, aunque sí es equivalente, pues en
II.14 se nos dice: “Construir un cuadrado igual a un dominio rectilíneo dado”.
En segundo lugar, se ha dicho que el comentario de
al-Nayrizi tiene dos tipos de ejemplos, así en la tercera figura encontramos:
Por ejemplo: Si una línea AB ha
sido dividida en dos segmentos en el punto G, entonces digo que la superficie
que encierran la línea AB y el segmento BG es igual a la superficie que
encierran los dos segmentos AG, GB con el cuadrado de GB.
[...]Un
ejemplo con números: Asociemos a la línea AB el número diez y dividámosla en
dos segmentos en el punto G; AG será el número tres y GB el número siete. Así
que la multiplicación de AB, que es diez, por BG, que es siete, es el número
setenta, que es igual a la suma de la multiplicación de AG, que es tres, por
GB, que es siete, y la multiplicación de GB, por sí misma. Y AG veces GB, es
veintiuno, y la línea GB por sí misma es cuarenta y nueve, y la suma de las dos
es setenta. Que es lo que queríamos demostrar.[22]
Con respecto a esto, recordemos que antes de la
demostración de los teoremas, Euclides presenta dos enunciados: en el primero
se incluyen los datos que usaremos para demostrar el teorema (y que actualmente
llamaríamos hipótesis) y en el segundo se expresa claramente lo que se desea
demostrar, por ejemplo en el teorema II.3, encontramos: “Divídase, pues, la AB,
al arbitrio; pongo por caso por el punto G”, que es la hipótesis de teorema y
“Digo que el rectángulo comprendido por las AB, BG es igual al rectángulo
comprendido por las AG, GB más el cuadrado de la BG” en donde se explica
claramente lo que queremos demostrar.
Si comparamos el primer ejemplo de al-Nayrizi con
lo anterior, podemos concluir que en éste se incluyen tanto la hipótesis del
teorema como la afirmación por demostrar, lo cual es muy interesante porque
desde nuestra situación actual pensaríamos que Euclides propone una línea
cualquiera dividida indistintamente por un punto cualquiera, sin embargo a los
ojos de al-Nayrizi no es cualquier línea, sino específicamente la línea AB,
usada para comprender o ilustrar el
teorema sujeto a demostración, en este sentido la hipótesis y el enunciado por
demostrar es un ejemplo para este matemático árabe (Acaso este hecho puede,
al mismo tiempo, brindarnos una línea
argumentativa que permita comprender por qué los teoremas son enunciados como
figuras).
Por otro lado, el segundo tipo de ejemplo que
al-Nayrizi nos brinda, es un ejemplo numérico que se enuncia una vez que se ha
demostrado el teorema en cuestión y permite elaborar una demostración numérica
del mismo, en él, como hemos visto, se asocia un número a cada segmento y
siguiendo la forma dada por el primer tipo de ejemplo, se demuestra la igualdad
propuesta en el teorema mediante una serie de operaciones aritméticas.
En tercer lugar, los comentarios de Herón pueden
ser clasificados en dos tipos: un comentario que llamaré aclarativo y una serie
de comentarios que presentan demostraciones alternativas a las dadas por
Euclides y en los cuales se incluyen, además, dos corolarios con sus
respectivas demostraciones.
El primer comentario de Herón aparece en la primera
figura y dice:
Herón dice: Esta figura no puede
ser probada sin dibujar dos líneas. Pero en lo que se refiere a las figuras
restantes, es posible demostrarlas dibujando una sola línea. Asimismo, si
demostramos con base en una sola línea, podemos presentar dos métodos de
prueba, uno de ellos es el método de análisis y el otro es el método de
síntesis. Análisis es cuando una cuestión u otra es poseída por nosotros y
decimos: “Supongamos que lo que se busca es verdad”. Entonces resolvemos algo
cuya prueba está dada. De modo que, cuando ha sido demostrado, decimos: “Lo que
se buscaba ha sido encontrado por análisis”. Síntesis es cuando se inicia con
cosas conocidas y después se las combina hasta que se encuentre lo desconocido,
y con esto [se dice que] lo desconocido ha sido probado por síntesis. Y ahora
que hemos dicho esto, procedamos a realizar nuestra tarea, de acuerdo con lo
que se ha descrito y prometido.
Con esto, [Herón] quiere decir que
va a ilustrar lo que ha prometido en el resto de las figuras que Euclides
presenta en este segundo tratado.[23]
En este comentario Herón menciona que, salvo en la
primera figura, se puede construir una demostración analítica y una sintética
para las figuras dadas por Euclides, es decir, proveerá una prueba suponiendo
que lo que se pretende demostrar es verdadero y otra en la que a partir de la
relación entre los datos dados lleguemos a lo que pretendemos demostrar. Este
comentario es de tipo aclarativo debido a que Herón esclarece los medios que
utilizará para demostrar las figuras propuestas por Euclides en el segundo
tratado.
En las restantes figuras, salvo en la once y
catorce (dado que piden construcciones y no demostraciones como tal), Herón
propone una serie de pruebas alternativas a las que Euclides construye y que
al-Nayrizi reproduce. Asimismo en las figuras doce y trece se incluyen dos
corolarios propuestos y demostrados por Herón.
En resumen, el Comentario
del libro II se estructura de la siguiente manera: La primera figura
incluye el teorema y su demostración, los dos tipos de ejemplos y el comentario
aclarativo de Herón; de la segunda hasta la quinta figura, presentan los
teoremas y su demostración, los dos tipos de ejemplos y las pruebas
alternativas de Herón; de la sexta hasta la onceava figura contienen los
teoremas y su demostración, el primer tipo de ejemplo y las pruebas de Herón;
en la onceava figura, está el teorema y su demostración, el primer tipo de
ejemplo y la construcción de Herón; las figuras doce y trece, muestran los
teoremas y su demostración, el primer tipo de ejemplo y los corolarios
propuestos y demostrados por Herón y, finalmente la figura catorce sólo incluye
el teorema y su demostración.
De este breve análisis quiero destacar dos
aspectos: el primero se refiere a la distinción que propusimos en la primera
sección de este segundo apartado, a saber, se dijo que las proposiciones que encontramos en Los Elementos podía dividirse, de acuerdo con su contenido, en
teoremas y problemas, tal distinción también es llevada a cabo por Herón, pues
las proposiciones once y catorce (que son los dos problemas del segundo libro
de Los Elementos) no reciben el mismo
tratamiento que las demás:
Para
esta figura es imposible probar sin una ilustración. Esto es porque, en ciertas
igualdades, es absolutamente necesario que conozcamos las construcciones por
las cuales llegamos a ellas. […] Y hemos demostrado en las figuras precedentes
que las construcciones no son necesarias para la demostración; al contrario,
necesitan sólo de la prueba y hemos mostrado sus pruebas sin recurrir a
dibujos. Sin embargo esta proposición requiere una construcción, por esta razón
se hace imposible entenderla sin una ilustración.[24]
Con base en esta referencia, notamos que el mismo
Herón reconoce que las proposiciones once y catorce exigen un tratamiento
distinto al que recibieron las otras, pues en ellas se requiere dibujar las
figuras, ya que sólo a través de la construcción se entenderá el contenido de
la proposición misma.
En segundo lugar quiero destacar que, resulta
sugerente que al-Nayrizi proponga ejemplos numéricos a ciertas figuras,
específicamente desde la segunda hasta la quinta, y es que a través de estos
ejemplos se propone una demostración
usando números (demostración que, por cierto, tampoco requiere la construcción
de la figura), de manera que si entendemos por número una relación entre una cantidad determinada y otra considerada como
unidad[25],
entonces podemos sospechar, con cierto fundamento¸ que este tipo de ejemplos
establecen una relación entre las figuras del segundo tratado y las cantidades,
sin embargo, no todas las figuras los presentan, por lo cual podríamos preguntarnos:
¿qué características hacen que estas proposiciones puedan ser demostradas
mediante ejemplos numéricos?, esta cuestión es, desde mi punto de vista,
fundamental para la comprensión de la génesis del álgebra en el mundo árabe y
que abordaremos parcialmente en este trabajo, a través de las soluciones de
“ecuaciones combinadas” de al-Khwārizmī, pues éstas se pueden relacionar con
los teoremas seis, siete y ocho del segundo libro de Los Elementos, que no tienen prueba numérica en el Comentario que aquí revisamos, aunque
podríamos aventurarnos a sugerir (injustificadamente en la medida en que no
sabemos si al-Khwārizmī conoció el trabajo de al-Nayrizi), que tales ecuaciones
brindan el ejemplo numérico que al-Nayrizi no propone y en este sentido nos
ofrecen y modo de comprender tales de teoremas sin recurrir a una figura
(aunque después al-Khwārizmī muestre la causa
de sus ecuaciones recurriendo a construcciones geométricas)
Para concluir, la finalidad de revisar brevemente
el comentario de al-Nayrizi estriba en que éste nos permite un primer
acercamiento a Los Elementos que los
árabes conocieron, lo cual influirá en el desarrollo de sus propios
planteamientos matemáticos, para los fines de este trabajo interesa sólo
revisar el álgebra planteada por al-Khwārizmī, que si bien es cierto abreva de
la edición de al-Hāyyāy, no estamos seguros de que conozca la de al-Nayrizi,
aunque si este último fue su colega en la Casa de la Sabiduría, es probable que
haya conocido su trabajo. Del trabajo de al-Khwārizmī hablaremos a
continuación.
El
álgebra de al-Khwārizmī
Ricardo Moreno nos dice en su biografía de
al-Khwārizmī que este matemático vivió aproximadamente entre los años 780 y
850, y que se conservan cinco de sus obras, que tratan sobre aritmética,
álgebra, astronomía, geografía y calendario; el tratado de astronomía es un
compendio de tablas sobre los movimientos del sol, la luna y los planetas, y al
parecer su construcción se haya influenciada, al igual que el tratado de
geografía, por Ptolomeo, aunque los cálculos se basan en la técnica india; su
trabajo sobre el calendario es una análisis del calendario judío, en el que
al-Khwārizmī, demuestra un buen conocimiento de la Biblia y la religión judía;
su aritmética, de la cual el original está perdido, recupera la técnica india
para multiplicar, dividir, extraer raíces y manipular fracciones, así como el
sistema de numeración decimal, del cual se dan ciertos visos en El libro del álgebra, mismo que
trataremos a continuación.
[1] Cfr. Vernet, Juan. Op. cit., p. 131.
[2]
Aguiar Aguilar basado en Vernet nos dice que existe una leyenda que sugiere que
la afición de este califa por la ciencia griega se debe a un sueño que tuvo y
que según Ibn-Nadīm tiene dos versiones:
Al-Ma'mūn vio en sueños
-dice- a un hombre de piel clara, sonrosada, frente despejada, cejijunto,
calvo, ojos azules y hermosas maneras. Estaba sentado en un trono. Al-Ma’mūn
refiere: Me hacía el efecto de que estaba ante él y me llené de respeto y de
temor.
- Le
pregunté:
- ¿Quién
eres?
- Aristóteles
- me contestó.
Me alegré y
le dije:
- ¡Oh sabio!
¿Puedo hacerte preguntas?
- Pregunta.
- ¿Qué es la
belleza?
- Lo que es
bello ante la razón.
- ¿y
qué es eso?
- Lo que es
bello ante la ley.
- ¿y
qué es eso?
- Lo que
acepta la mayoría.
- ¿y qué
es eso?
- ¡Ya no
hay más que preguntar!
Y otra versión de esta anécdota sigue diciendo:
- ¡Dime
algo más!
- Quien te
aconseje sobre el oro será para ti como el oro: ¡Respeta la unidad de Dios!
Véase: Aguiar
Aguilar, Maravillas. Op. cit., p. 11.
[3] Cfr. Anaritius, d. ca. 922. The
Commentary of Al-Nayrizi on Books II-IV of Euclid’s Elements of Geometry: with
a translation of that portion of Book I missing from Leiden or. 399.1 but
present in the newly discovered Qom manuscript edited by Rudiger Arnzen and
Anthony Lo Bello. Ed. Brill. Netherlands 2009, p. XX (Traducción propia)
[4] Vernet, Juan. Op. cit., p. 180.
[5] Ehrenfried Hofmann,
Joseph. Historia de la matemática: desde
el comienzo hasta Fermat y Descartes. Unión Tipográfica Editorial
Hispano-Americana. México 1978, p.30.
[6] Con reserva de lo que
asegura Vernet, Lo Bello afirma que al-Nayrizi conoce no sólo
la versión comentada por los griegos, sino también la realizada por al-Hāyyāy
(aunque hay ciertas dudas sobre si esta traducción fue en la que al-Nayrizi se
basó para realizar su comentario). Asimismo es importante señalar que el
comentario de al-Nayrizi a los libros II, III y IV de Los Elementos, colega de al-Khwārizmī en La Casa de la Sabiduría,
incluye los comentarios de Herón, cuya Métrica
fue probablemente conocida por al-Khwārizmī, quien recupera problemas del
ingeniero griego en su Álgebra,
aunque de acuerdo con Ricardo Moreno, no se conserva ninguna traducción árabe,
persa o siria de los textos de Herón.
[7] Cfr. Rashed, Roshdi. The
development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra. Kluwer
Academic Publishers. Netherlands 1994, p. 8 (Traducción propia)
[8] Este libro ha sido
considerado como un tratado de álgebra o álgebra geométrica,
afirmación sobre la cual no estoy convencida,
debido
a que en sentido estricto no hay álgebra en Euclides y tampoco álgebra
geométrica ya que tal término se aplica a las álgebras de Clifford y las
teorías relacionadas con su formulación.
[9] Diccionario de la
Real Academia Española. 22a ed. Gredos. Madrid 2001, s.v. “ecuación”.
[10] Levi, Beppo. Leyendo a Euclides. Libros del Zorzal.
Argentina 2001, p. 93.
[11] La palabra que se
traduce como “congruencia”, a saber, ἐφαρμόζοντα (efarmózonta), proviene del verbo
ἐφαρμόζω (efarmozoo) que significa “aplicar”, “ajustar” o “acomodar”,
recordemos que Euclides demuestra congruencia de triángulos y sus pruebas
consisten en poder “aplicar”, ajustar o acomodar un triángulo sobre otro, de
acuerdo con esta noción Euclides demuestra que un triángulo es igual a otro,
independientemente de la posición u
orientación del segundo.
[12] A este respecto se
debe señalar también que, dado que Euclides no considera el ángulo llano (es
decir la suma de dos rectos) como un ángulo, podríamos pensar que la suma de
dos ángulos rectos es de hecho una línea recta.
[13] García Olvera,
Francisco. El producto del diseño y la
obra de arte. Universidad Autónoma Metropolitana. México 2005, pp. 70-71.
[14] Libro que trata de la
teoría de las proporciones, después de la introducción realizada por el libro
V.
[15] Cfr. D.V.6 en: Euclides. Los
Elementos. Tomos III-V. Universidad Nacional Autónoma de México. México
1992, p. 160.
[16] D.V.3 en: Euclides,
op.cit.
[17] Ver por ejemplo,
D.V.7: “Cuando entre (cantidades) igualmente multiplicadas, el múltiplo de la
primera supera al múltiplo de la
segunda, pero el múltiplo de la tercera no
supera al múltiplo de la cuarta, se dice que la primera tiene a la segunda
una razón mayor que la tercera a la
cuarta” (Cursivas mías)
[18] Leví, Beppo. Op. cit., p. 167.
[19] Anaritius. Op. cit., p. 21. (Traducción propia)
[20] El teorema catorce es
anunciado exactamente igual en la copia realizada por al-Hāyyāy, aunque no
sucede lo mismo con otros teoremas. Véase: The
al-Hajjaj Edition of Book II. Preserved in MS Persan 169 of the Bibliothèque
Nationale, Paris. En: Anaritius. Op.
cit., pp. 62-67.
[21] Íbid., p.53 (Traducción propia)
[22] Íbid., pp. 25 y 26. (Traducción propia)
[23] Íbid., pp. 22-23.
[24] Ibídem, pp. 47-48.
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